У цій презентації для 11-го класу ми розглянемо поняття об'єму тіла, властивості об'ємів тіл, розв'яжемо кілька завдань.
Раніше учні ознайомлювалися з обчисленнями площі геометричних фігур. Площа – це розмір фігури, що знаходиться на одній площині.
Якщо фігура лежить не в одній площині, а в просторі, тоді, говорячи про її розмір, ми переходимо до поняття обсягу. У презентації на третьому слайді проілюстровані об'ємні тіла, що мають різну форму та об'єм: амфора, барель, цебро. Автор вводить поняття кубічного сантиметра – подивіться на наступний малюнок: показано 1см на прямий, 1 квадратний сантиметр як одиниця площі та 1 кубічний сантиметр як одиниця об'єму тіла. 1 кубічний сантиметр характеризується трьома розмірами тіла: довжиною, шириною та висотою, що наочно показано на малюнку.
1) Обсяги рівних тіл дорівнюють.
2) Якщо тіло складено з кількох тіл, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих тіл. На малюнку зображено фігуру, що складається з двох фігур F і Q. Тоді обсяг цієї фігури можна записати вказати як V = V F + V Q .
3) Якщо одне тіло містить інше, то об'єм першого тіла не менший за об'єм другого. На малюнку показаний куб із стороною а = 1см. Усередині куба знаходиться куб зі стороною 1/5 див. Об'єм першого куба дорівнює V = a 3 = 1 см 3 . Об'єм куба всередині дорівнює V 1 = (1/5) 3 = 1/125 см3.
Ми отримали, що 1 см 3 > 1/125 см 3 тобто. V> V 1 .
Зверніть увагу на слідство, вказане на наступному слайді: об'єм куба з ребром 1/n дорівнює 1/n3. Наводиться доказ цього твердження. Припустимо, дано куб зі стороною а = 1см і куб, що знаходиться всередині першого куба зі стороною а 1 = 1/n см. Об'єм першого куба дорівнює V = a 3 = 1 см 3. Об'єм куба всередині дорівнює V 1 = (1/n ) 3 = 1/n 3 см 3 . Що й потрібно було довести.
Застосуємо властивості обсягів тіл на практиці під час вирішення задач.
Завдання 1. Дано тіло, що складається з двох паралелепіпедів, що знаходяться один над одним (див. рисунок). Відомі ширина, довжина і висота цих паралелепіпедів: а c, b c, h c і a 3, b 3, h 3 . Потрібно знайти об'єм всього тіла. Знайдемо об'єм першого паралелепіпеда V c = а cxbcxhc = 36. За аналогією обчислимо об'єм першого паралелепіпеда V 3 = а 3 xb 3 xh 3 = 3. Об'єм всього тіла знайдемо, використовуючи другу властивість об'ємів тіл: V = V с + V 3 = 39 .
Завдання 2. На малюнку зображена цегла, у якої відомі розміри: довжина 250, ширина 120, висота 65. Дано розміри отвору 2200 x 120 x 700. Потрібно визначити, скільки цегли поміститься в цей отвір. Знайдемо об'єм однієї цеглини V 1 = а 1 x b 1 x h 1 . Знайдемо об'єм отвору за аналогічною формулою V 2 = а 2 x b 2 x h 2 . Тоді V 2 / V 1 позначатиме кількість цегли, що помістилися в отвір. Примітка - можемо не знаходити окремо обсягу цегли та отвору, т.к. такого завдання не варто, а одразу обчислити кількість цеглини V 2 / V 1 .
Дана презентація може бути використана вчителем на уроці, а також може бути самостійно опрацьована учнями.
Слайд 2
Цілі уроку:
Ввести поняття обсягу тіл, його властивостей, одиниць виміру обсягу. Повторити з учнями формули знаходження обсягу паралелепіпеда, куба. Познайомити учнів з обсягами прямої призми, піраміди, циліндра та конуса, керуючись наочно-ілюстративними міркуваннями.
Слайд 3
Подібно до того як всі мистецтва тяжіють до музики, всі науки прагнуть математики. Д. Сантаяна
Слайд 4
Геометрія є мистецтво правильно розмірковувати на неправильних кресленнях. Пой Д.
Слайд 5
Площа багатокутника- це позитивна величина тієї частини площини, яку займає багатокутник. Об'єм тіла - це позитивна величина тієї частини простору, яку займає геометричне тіло.
Слайд 6
Властивості об'ємів: 1. Рівні тіла мають рівні об'єми F1 F2 F1 F2
Слайд 7
2. Якщо багатокутник складено з кількох багатокутників, його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників. SF=SF1+SF2+SF3+SF4 2. Якщо тіло складено з кількох тіл, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих тіл. VF=VF1+VF2 F2 F3 F1 F4
Слайд 8
Площа За одиницю виміру площ беруть квадрат, сторона якого дорівнює одиниці виміру відрізків. 1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2, 1 а, 1 га і т.д. Об'єм За одиницю виміру обсягів приймемо куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків. Куб з ребром 1 см називають кубічним сантиметром та позначають см3. Аналогічно визначають 1 м3, 1 дм3, 1 см3, 1 мм3 і т.д. 1 1 1 1 1
Слайд 9
Площа Рівновеликими називаються геометричні фігури, що мають рівні площі Об'єм Рівновеликими називаються тіла, об'єми яких рівні
Слайд 10
У стереометрії розглядаються обсяги багатогранників та обсяги тіл обертання.
Слайд 11
Об'єм прямокутного паралелепіпеда:
а-довжина b-ширина з-висота V=a.b.c Sосн=a.b V=Sосн.H а с
Слайд 12
Об'єм куба:
V=a3 V=Sосн.H а а Sосн=a2
Слайд 13
Обсяг прямої призми:
V=Sосн.H Vпарал=Sосн.H S осн=2.SABC За якістю обсягів Vпарал=2.SABС.H V призми = (V парал) :2 V призми = (2.SABС. H): 2
Слайд 14
Об'єм піраміди:
У 2 і 3 піраміди- SC- загальна, трCC1B1= трCBB1 У 1 і 3 піраміди- СS- загальна, трSAB= трBB1S V1=V2=V3 Vпризми= 3 V пірам Vпіраміди=1 V призми 3 Vпіраміди=1 Sосн. піраміду ABCS до призми. Добудована призма складатиметься з 3 пірамід-SABC, SCC1B1, SCBB1
Слайд 15
Об'єм циліндра:
Позначення: R-радіус основи H-висота L - утворююча L=H V - об'єм циліндра V = ПR2H - об'єм V= Sосн.H Sосн= ПR2 L
Слайд 16
Конус:
ПОЗНАЧЕННЯ: R - радіус основи L - утворююча конуса H - висота V - об'єм V = 1ПR2Н 3 - об'єм
Слайд 18
Перевір свої знання:
Сформулюйте поняття обсягу. Сформулюйте основні властивості об'ємів тіл. Назвіть одиниці вимірювання об'єму тел. Назвіть формулу для вимірювання об'єму - прямокутного паралелепіпеда; - Об'єму куба; - обсяг прямої призми; - Об'єм піраміди; - обсяг циліндра та обсяг конуса. Чи зміниться об'єм циліндра, якщо радіус його підстави збільшити у 2 рази, а висоту зменшити у 4 рази? V = ПR2HV = П (2R) 2. H = П4R2. H = ПR2. H 4 4 Підставами двох пірамід із рівними висотами є чотирикутники з відповідно рівними сторонами. Чи рівні обсяги цих пірамід? З яких тіл складається тіло, отримане обертанням рівнобедреної трапеції навколо більшої основи?
Слайд 19
Домашня робота:
Вивчити формули обсягів тіл, визначення. № 648 (а, в), № 685, № 666 (а, в)
Слайд 20
Закріплення пройденого матеріалу:
Завдання №1 Три латунні куби з ребрами 3см, 4 см і 5 см переплавлені в один куб. Яке ребро цього куба? + + = a1 a2 a3?
Слайд 21
Рішення: VF=VF1+VF2+VF3 VF1=33 =27 (см3) VF2=43 =64 (см3) VF3=53 =125 (см3) VF=27+64 +125=216 (см3) VF=а3 а3= 216 (см3) а = 6 (см) Відповідь: ребро куба дорівнює 6 см.
Обсяги тел
Укладач: Юмінова Олеся Вікторівна, учитель математики Красноярського аграрного технікуму
Цілі уроку:
Ввести поняття обсягу тіл, його властивостей, одиниць виміру обсягу. Повторити з учнями формули знаходження обсягу паралелепіпеда, куба. Познайомити учнів з обсягами прямої призми, піраміди, циліндра та конуса, керуючись наочно-ілюстративними міркуваннями.
Подібно до того як всі мистецтва тяжіють до музики, всі науки прагнуть математики. Д. Сантаяна
Геометрія є мистецтво правильно розмірковувати на неправильних кресленнях. Пой Д.
Площа багатокутника- це позитивна величина тієї частини площини, яку займає багатокутник.
Об'єм тіла - це позитивна величина тієї частини простору, яку займає геометричне тіло.
Властивості площ: 1. Рівні багатокутники мають рівні площі
Властивості об'ємів: 1. Рівні тіла мають рівні об'єми
F1
F2
F1
F2
2. Якщо багатокутник складено з кількох багатокутників, його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників. SF=SF1+SF2+SF3+SF4
2. Якщо тіло складено з кількох тіл, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих тіл. VF=VF1+VF2
Площа За одиницю виміру площ беруть квадрат, сторона якого дорівнює одиниці виміру відрізків. 1 км2, 1 м2, 1 дм2, 1 см2, 1 мм2, 1 а, 1 га і т.д.
Об'єм За одиницю виміру обсягів приймемо куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків. Куб з ребром 1 см називають кубічним сантиметром та позначають см3. Аналогічно визначають 1 м3, 1 дм3, 1 см3, 1 мм3 і т.д.
1
1
1
1
1
Площа рівновеликими називаються геометричні фігури, що мають рівні площі.
Об'єм Рівновеликими називаються тіла, об'єми яких рівні
VF=VF1
F2
F1
F2
F1
SF=SF1
У стереометрії розглядаються обсяги багатогранників та обсяги тіл обертання.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда:
а-довжина b-ширина з-висота V=a.b.c Sосн= a.b V=Sосн.H
Об'єм куба:
V=a3 V=Sосн.H
Sосн=a2
Обсяг прямої призми:
V=Sосн.H
Vпарал=Sосн.H S осн=2.SABC За якістю обсягів Vпарал= 2.SABС.H V призми = (V парал) :2 V призми = (2.SABС. H): 2
Об'єм піраміди:
У 2 і 3 піраміди- SC- загальна, тр CC1B1= тр CBB1 У 1 і 3 піраміди- СS- загальна, тр SAB= тр BB1S V1=V2=V3 V призми= 3 V пірам Vпіраміди=1 V призми 3 Vпіраміди=1 Sосн.H 3
Добудуємо піраміду ABCS до призми. Добудована призма складатиметься з 3 пірамід-SABC, SCC1B1, SCBB1
Об'єм циліндра:
Позначення: R - радіус основи H - висота L - утворююча L=H V - об'єм циліндра
V = ПR2H - обсяг V = Sосн.H Sосн = ПR2
Конус:
ПОЗНАЧЕННЯ: R - радіус основи L - утворююча конуса H - висота V - об'єм V = 1ПR2Н 3 - об'єм
Це цікаво:
У геології існує поняття "конус виносу". Це форма рельєфу, утворена скупченням уламкових порід, винесених гірськими річками на передгірну рівнину або більш плоску широку долину.
У біології є поняття "конус наростання". Це верхівка втечі та кореня рослин, що складається з клітин освітньої тканини.
"Конусами" називається сімейство морських молюсків підкласу пережнежаберних. Укус конусів дуже небезпечний. Відомі смертельні випадки.
У фізиці зустрічається поняття "тілесний кут". Це конусоподібний кут, вирізаний у кулі.
Перевір свої знання:
Сформулюйте поняття обсягу. Сформулюйте основні властивості об'ємів тіл. Назвіть одиниці вимірювання об'єму тел. Назвіть формулу для вимірювання об'єму - прямокутного паралелепіпеда; - Об'єму куба; - обсяг прямої призми; - Об'єм піраміди; - обсяг циліндра та обсяг конуса. Чи зміниться об'єм циліндра, якщо радіус його підстави збільшити у 2 рази, а висоту зменшити у 4 рази? V = ПR2H V = П (2R) 2. H = П4R2. H = ПR2. H 4 4 Підставами двох пірамід із рівними висотами є чотирикутники з відповідно рівними сторонами. Чи рівні обсяги цих пірамід? З яких тіл складається тіло, отримане обертанням рівнобедреної трапеції навколо більшої основи?
Домашня робота:
Вивчити формули обсягів тіл, визначення. № 648 (а, в), № 685, № 666 (а, в)
Закріплення пройденого матеріалу:
Завдання №1 Три латунні куби з ребрами 3см, 4 см і 5 см переплавлені в один куб. Яке ребро цього куба? + + =
ПОНЯТТЯ ОБ'ЄМУ
ПОНЯТТЯ ОБ'ЄМУ
S – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
V – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
1. Рівні постаті мають рівні площі.
2. Якщо фігура, складена з кількох фігур, то її площа дорівнює сумі площ цих фігур.
3. Як одиниця виміру площі зазвичай беруть квадрат зі стороною, що дорівнює одиниці виміру відрізків.
ПОНЯТТЯ ОБ'ЄМУ
Два тіла називаються рівними якщо їх можна поєднати накладенням
S – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
V – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
1. Рівні постаті мають рівні площі.
Рівні тіла мають рівні обсяги.
2. Якщо фігура, складена з кількох фігур, то її площа дорівнює сумі площ цих фігур.
3. Як одиниця виміру площі зазвичай беруть квадрат зі стороною, що дорівнює одиниці виміру відрізків.
ПОНЯТТЯ ОБ'ЄМУ
Обсяг всього тіла складається з обсягів складових його тіл.
S – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
V – це позитивна величина, чисельне значення якої має такі властивості:
1. Рівні постаті мають рівні площі.
Рівні тіла мають рівні обсяги.
2. Якщо фігура, складена з кількох фігур, то її площа дорівнює сумі площ цих фігур.
Якщо тіло складено з кількох тіл, його обсяг дорівнює сумі обсягів цих тіл.
3. Як одиниця виміру площі зазвичай беруть квадрат зі стороною, що дорівнює одиниці виміру відрізків.
Як одиниця виміру обсягу зазвичай беруть куб, ребро якого дорівнює одиниці виміру відрізків.
ПОНЯТТЯ ОБ'ЄМУ
Об'єм прямокутного паралелепіпеда
Теорема: обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів. a, b, c – вимірювання прямокутного паралелепіпеда. V = abc.Слідство 1: обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту. V = abc = Sh.
Наслідок 2.
Обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту. V = SABCh.
Література:
Геометрія 10 - 11: Навч. для загальноосвітніх закладів/Л.С. Атанасян та ін., Просвітництво 2003 рік. Вивчення геометрії в 10 - 11 кл.: Метод. рекомендації до підручника / С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов, Освіта, 2001 рік
Виконала:
Пахомова Є.А. учитель математики МОУ ЗОШ с. Тайгове
